LA PARABÓला lugar geométrico

LA PARABÓLA
a. concepto
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
i. Sea DD una recta dada del plano y F un punto del plano que no está en la recta dada. Se define la parábola como el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya distancia al punto F es igual a la distancia a larecta DD.
ii. La recta dada DD se llama DIRECTRIZ y el punto F se llama FOCO (fig. 6.1.1.) Frecuentemente se hace referencia a la parábola de directriz DD y de foco F y se denota por PDD-F.


Ecuaciones de la parábola


Parábolas tipo y=ax2, con a=4, 1, 1/4 y 1/10.


Prueba geométrica de la relación y=ax2.
Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las formas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas.
Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».
Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio,2 y se bosquejará a continuación usando notación moderna.
Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de un cono recto de forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje y sea QV perpendicular al eje. (QV corresponde al valor x en la versión analítica y PV al valor y). Considerando la sección circular que pasa por Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C.
Por el teorema de potencia de un punto:
.
Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejantes y así:
.

Usando nuevamente los paralelismos:
.
Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV² resulta en
.
Pero el valor de es una constante pues no depende de la posición de V, por lo que haciendo

arroja la expresión moderna y=ax².


Parábolas verticales, con ecuaciones de la forma y=ax²+bx+c.
Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de una parábola vertical para cualquier posición de su vértice.
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es (u,v) tiene la forma (y-v)=a(x-u)2,
agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente:
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma .
Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero intercambiando y por x y viceversa. Así tendríamos:
La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de la forma .
Ecuación involucrando la distancia focal


Ecuación de una parábola vertical.
Pueden haber muchas parábolas que tengan un mismo vértice (variando el parámetro a) en la primera ecuación. Sin embargo, dados dos puntos fijos, existe sólo una parábola que los tiene por vértice y foco ya que la directriz queda automáticamente fija como la perpendicular a la línea que une el foco con el vértice y a esa misma distancia del último.
Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (0,p). La directriz es por tanto, la recta horizontal que pasa por (0,-p). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene:
La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es .
De forma alterna:
La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es .
Es de notar que el coeficiente 4p es precisamente la longitud del lado recto de la parábola.
Ambas ecuaciones se refieren a parábolas verticales que se abren «hacia arriba». La ecuación de una parábola que se abre hacia abajo es similar excepto que varía un signo. En este caso, el foco sería (0,-p) y de esta forma:
La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,-p) es .
Cuando la parábola es horizontal «hacia la derecha», se obtiene una ecuación similar intercambiando los roles de x, y:
La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (p,0) es ,
obteniendo mediante un cambio de signo la ecuación de las parábolas hacia la izquierda.
Finalmente, las ecuaciones cuando el vértice no está en el centro se obtienen mediante una traslación. En el caso común de la parábola vertical hacia arriba se tiene
La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (h, k+p) es ,
mientras que para la parábola horizontal se intercambia x con y:.
La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (h+p, k) es .


b. Elementos de la parábola
Foco
Es el punto fijo F.
Directriz
Es la recta fija d.
Parámetro
Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.
Eje
Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
Vértice
Es el punto de intersección de la parábola con su eje.
Radio vector
Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.
c. Ecuación de la parábola con centro en el origen
De directriz y = 4, de vértice (0, 0).





De foco (2, 0), de vértice (0, 0).



Eje en el de abscisas y el vértice en el origen




Eje en el de ordenadas y el vértice en el origen





d. Ecuación de la parábola con centro diferente al origen
Parábola con eje paralelo a OX y vértice distinto al origen

Parábola con eje paralelo a OY, y vértice distinto al origen

De foco (3, 2), de vértice (5, 2).




De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).






De foco (3, 4), de vértice (1, 4).




e. Ecuaciones de la parábola horizontal y la vertical

f. Ejercicios
Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:
1 De directriz x = -3, de foco (3, 0).




2 De directriz y = 4, de vértice (0, 0).





3 De directriz y = -5, de foco (0, 5).




4 De directriz x = 2, de foco (-2, 0).



5 De foco (2, 0), de vértice (0, 0).




6 De foco (3, 2), de vértice (5, 2).




7 De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).




8 De foco (3, 4), de vértice (1, 4).




Calcular las coordenadas del vértice y de los focos, y las ecuaciones de la directrices de las parábolas:
1








2








3